一、一个不等式的一般情形（论文文献综述）
王璞玉[1]（2021）在《基于差分隐私的机器学习算法研究》文中提出随着互联网的普及和信息采集技术的提高,大量的敏感数据被收集.例如来自学校和医院的个人记录,用于欺诈检测的财务记录,来自社交媒体的在线行为以及来自癌症诊断的基因组数据等.对这些数据的整理和分析大大增加了个人隐私泄露的风险.特别地,利用现代统计机器学习方法可精准推断个人信息或预测个人行为,此类数据如果被不恰当地使用,将造成非常严重的后果.因此,研究具有隐私保护能力的机器学习算法具有重要的意义.差分隐私作为一种有数学理论支撑的隐私保护技术,适合于大数据时代对个人隐私保护的需求,能在保护隐私的前提下挖掘数据所蕴含的信息.本学位论文聚焦于基于差分隐私的机器学习算法,开展稀疏分类差分隐私学习算法研究,提出适用于不稳定稀疏问题的隐私保护算法框架;开展差分隐私随机凸优化研究,系统的分析（次）梯度α-Holder连续损失函数的隐私保护随机梯度下降（SGD）算法;开展非平衡数据的隐私保护研究,分别基于输出扰动和优化目标扰动机制提出隐私保护成对学习算法并分析其统计泛化性能;开展满足差分隐私的分布式Logistic回归模型研究,实现分布式差分隐私.具体地,本学位论文主要获得了如下研究成果:1.开展差分隐私稀疏分类学习算法研究,提出差分隐私稀疏正则化框架.基于交替方向乘子法（ADMM）,将稀疏分类问题的求解转化为对多个稳定子优化问题的求解,并通过给稳定子问题的目标函数添加指数噪声实现隐私保护.进一步,证明即使原始问题不稳定所提隐私保护稀疏算法亦满足差分隐私,并给出所提算法的隐私界估计.最后,将所提算法框架应用于lq正则化Logistic回归（0<q ≤1）.实验结果表明,所提隐私算法可以高效并且有效的分析敏感数据.2.聚焦于差分隐私随机凸优化问题,提出不光滑损失的隐私保护SGD算法,研究了所提算法的统计泛化性能.具体地,研究（次）梯度α-Holder连续损失的差分隐私SGD算法,系统的分析输出扰动隐私SGD算法以及梯度扰动隐私SGD算法.对于输出扰动算法,建立参数空间无界时的隐私及可用性保证.这是已知的首次在参数空间无界条件下对隐私算法的研究;对于梯度扰动算法,证明当梯度复杂度（算法的迭代次数）为T=O（n2-α/1+α+n）时,算法满足（∈,δ）-差分隐私且其额外测试误差可达到最优收敛率O（（?））.3.聚焦于非平衡数据的隐私保护研究,分别基于输出扰动机制和目标函数扰动机制提出差分隐私AUC-ERM算法.进一步,系统的分析了所提算法的隐私和统计泛化性能.由于AUC最大化问题的损失函数为依赖于两个数据点的成对损失,利用Rademacher averages剥离技术和U-统计量的性质将对不互相统计独立损失函数（即两对损失可能依赖于同一个数据点）的分析转化为对统计独立的损失函数的分析.此外,对于光滑但不利普希茨连续的损失函数,提出新的误差分解以分析其统计泛化能力.4.关注海量高维敏感数据的隐私保护问题,开展满足差分隐私的分布式Logistic回归模型研究.通过对分布式算法输出结果加扰动,实现分布式差分隐私.进一步,为了防止计算机信息交互过程中可能产生的隐私泄露,针对算法迭代过程加扰动的方式提出基于ADMM算法的分布式Logistic变量扰动算法,并给出算法的隐私理论界估计.模拟数据以及真实数据实验表明,所提算法可有效地处理分布式存储数据并保护其隐私.
张教根[2]（2021）在《近Hermitian流形与HKT流形上的一类完全非线性方程》文中研究表明本文我们对流形上的一类完全非线性偏微分方程开展研究.这类方程包含复Monge-Ampere型方程,特殊拉格朗日方程,复Hessian方程等,在数学及物理有诸多应用.论文分为五章.第一章我们主要回顾实流形、近复流形与超复流形上完全非线性偏微分方程的最新发展,然后介绍本文主要研究成果.第二章我们研究近复流形中的Monge-Ampere型方程,假设锥次解存在得出了解的二阶估计,进而由Tosatti-Wang-Weinkove-Yang[82]的C2,α估计以及椭圆方程的Schauder理论得出高阶估计.若假设方程存在上解,那么我们也可由连续性方法得出方程解的存在性,第三章我们研究相关的抛物型方程,结合第二章中有关椭圆方程解的先验估计,我们对Monge-Ampere型方程解的存在性给出了一个抛物证明.第四章在我们[53]原有基础上研究了更广的带有supercritical相变的特殊拉格朗日方程,并利用极大值原理的方法给出了方程解的梯度估计.第五章我们考虑在一类具有平坦超凯勒度量的HKT流形上一般的完全非线性偏微分方程.在假设锥次解存在的条件下,我们得到了方程解的二阶估计,进一步我们发展了此类流形上的Evans-Krylov理论,并结合椭圆方程的Schauder理论从而给出了高阶估计,同时对某些特殊方程也研究了其解的存在性.
黄胡晏[3]（2021）在《基于张量网络分解的多维信号恢复》文中研究表明随着大数据时代的发展,张量为多维数据提供了一种有效的数学表示。为了提取隐藏的结构或模式,张量分解作为一种常见的秩揭示代数出现了,它将张量分解成几个小的（通常是可解释的）张量。给定张量的一部分作为观测样本,张量补全通过利用多维数组的低秩结构对缺失的成分进行插值。最近提出的张量环分解是一种量子启发方法,它在低级计算机视觉问题的任务中表现出比现有方法更好的性能。本文将说明通过求解基于此张量环分解的凸优化模型,只要O（I[D/2]R2 ln7（I[D/2]））的样本量足够以高概率准确地恢复一个维度大小为I×…×I和张量环秩为[R;…;R]的D阶张量。为了进一步解决算法对稀疏成分的敏感性,本文提出了鲁棒张量环补全,它能从有限观测样本中将潜在的低秩张量与稀疏张量分开。具体来说,原始模型加上了对稀疏张量的l1正则化。本文还将上述确切的恢复保证扩展到这种稳健补全模型。在优化方面,本文利用交替方向乘子法将它们划分为几个能被快速求解的子问题。通过考虑辅助样本中的先验知识,本文还提出了一种耦合张量分解,它能揭示多模数据的联合结构。此问题建模为非线性最小二乘模型,并且由具有线性收敛速率的加速块坐标下降算法求解。本文还得出了这种优化模型的过量风险,与其它耦合补全方法相比,它显示了理论和实际性能的提高。与张量链和张量环相比,投影纠缠对状态（本文也称之为张量网格格）允许不同维度之间的更多交互,并可能获得更紧凑的表示。因此基于该分解提出了一个新的张量补全模型。本文提出了两阶段密度矩阵重整化群算法,它用于张量网格格分解的初始化,然后使用交替最小化来解决补全问题。为了提高计算效率,本文还提出了一种并行化矩阵因子方法。为了进一步验证理论和提出的算法的实际效果,本文对每个算法进行两组实验,即使用人造数据来验证理论,并将提出的方法与最先进的方法在真实数据上进行比较,包括彩色图像和视频,光场图像,YaleB脸数据集,社交数据,短波-近红外光谱,高光谱图像等。实验结果表明,本文的方法比现有的方法优越。
王万禹[4]（2021）在《变分不等式与不动点问题的投影算法研究》文中指出变分不等式是最优化理论的一个重要分支,它在运筹学,经济学,管理学等领域有着广泛的应用.为了求解变分不等式问题的近似解,很多迭代算法被提出.投影算法是其中一种重要方法.本文主要研究变分不等式问题的增量约束投影算法以及变分不等式问题和不动点问题公共解的投影算法.全文共分为六章,具体内容如下:第一章,介绍了变分不等式和不动点问题的研究背景,投影算法的研究进展及本文的研究动机和主要内容.第二章,回顾本文将要用到的一些概念及结论.第三章,在Rn中研究变分不等式问题的增量约束投影算法（包含随机投影算法和循环投影算法）.算法的每一个迭代步只需向特定的半空间投影两次.在映射单调加（monotoneplus）和Lipschitz连续的假设条件下,证明了该算法生成的点列几乎必然收敛到变分不等式的解.数值结果表明算法有效.第四章,在Rn中研究变分不等式问题的惯性增量约束投影算法（包含惯性随机投影算法和惯性循环投影算法）.所提算法只需向特定的半空间投影一次.在映射强单调且不需要Lipschitz连续的假设条件下,证明了算法生成的点列几乎必然收敛到变分不等式的解.数值结果表明算法有效.第五章,在实Hilbert空间中研究变分不等式问题和非扩张映射不动点问题公共解的投影算法.在映射F单调一致连续,映射U非扩张以及公共解集非空的假设条件下,证明算法生成的点列强收敛到变分不等式问题和不动点问题的一个公共解.第六章,给出全文总结并对变分不等式问题的进一步研究进行展望.
熊永阳[5]（2020）在《非平衡有向网络的分布式优化算法》文中研究说明作为自主智能无人系统的一个重要研究方向,分布式协同控制近年来吸引了社会的高度关注。其原因在于,数据样本往往分散在大规模的网络中,而分布式控制能很好地胜任这种网络结构。在分布式框架下,个体通过利用本地数据以及与其邻居进行信息交互来做出决策,从而使整个网络实现特定的目标。因此,分布式算法与传统的集中式控制算法相比具有很多优势,包括更低的成本、更高的灵活度、更强的鲁棒性、更好的可拓展性等等。很多实际问题可以在分布式优化的框架下得以解决,比如大规模机器学习、智能电网的分布式经济调度、编队控制、传感器网络的分布式估计等。这些应用需要人们设计出完全分散化的算法,使得网络中的个体仅通过本地计算及与其邻居个体交互信息从而合作地优化一个由局部目标函数之和所构成的全局目标函数。本论文主要关注于分布式优化领域一个富有挑战性和实际意义的情形,即网络中节点间的信息交互建模为一般的非平衡有向图。在针对时不变的目标函数提出分布式优化算法后,进一步针对局部目标函数以不确定或对抗的方式发生变化这一动态场景,研究了分布式在线优化问题。论文的主要内容和贡献总结如下:第二章考虑了非平衡有向网络中带有局部状态约束的分布式优化问题。针对此问题,通过利用相邻时刻次梯度信息的差值以及次梯度项尺度变换技术,提出了一种基于一致性协议的分布式优化算法。该算法只要求邻接矩阵为行随机矩阵,这意味着网络中的每个节点不需知道自身的出度即可独立地为所接收的邻居信息赋予权重。重要的是,该算法允许节点被限制在不同的凸集中,这具有更强的实际意义,但同时导致针对不同局部约束集所进行的投影操作将会给算法的收敛性分析带来很大挑战。在常规假设下,严格地证明了所设计的算法能够保证每个节点的状态最终收敛到优化问题的全局精确最优解。数值仿真结果显示本章所设计的算法与相关算法相比具有更好的收敛性能。第三章考虑了通信能力受限情形下非平衡有向网络中的分布式优化问题。为了减轻网络的通信负担,针对强凸且光滑的代价函数设计了一种新颖的量化分布式梯度跟踪算法Q-DGT。与现有基于次梯度的量化分布式优化算法不同,量化机制不能直接融入到分布式梯度跟踪算法DGT中。其原因在于直接融合后的算法会产生随时间而不断累积的量化误差,从而导致算法的线性收敛性能得不到保证。通过精心设计,Q-DGT对量化误差具有很好的鲁棒性,并且继承了DGT及其变体算法的线性收敛性能。重要的是,与DGT算法相比,Q-DGT不需要计算局部代价函数的初始梯度。我们给出了能避免量化饱和的动态自适应量化水平更新规则。通过分析该规则,进一步给出能保证算法线性收敛性能的固定量化水平。最后,将所设计的算法应用于传感器网络中的岭回归问题来验证其有效性。考虑到分布式优化发生的场景常常是动态的,原始的分布式优化算法在这种情形下就不能适用。因此,需要将分布式优化算法推广到在线优化的情形,特别地,局部目标函数随时间而变化并且只有当个体做出决策之后该函数才会被激活。第四章研究了隐私保护情形下非平衡有向网络中带有状态约束的分布式在线优化问题,其中邻接矩阵仅被要求为行随机矩阵。为了解决这个问题,在没有引入第三方权威平台的情形下提出了差分隐私分布式在线优化算法来保护节点的隐私信息。在常规假设条件下,对于强凸的代价函数,严格地证明了算法的静态Regret界限对时间窗T的平均以O（log T/T）的速度渐近收敛到0;更进一步,通过采用Doubling Trick机制移除了算法对时间窗具体数值的依赖,并且对于一般的凸代价函数,证明了所提算法的静态Regret对时间窗的平均以O(T-1/2)的速度收敛到0。这些结果揭示了算法在隐私保护水平和求解精确度之间存在一个平衡,而且所得到的静态Regret界限与现有的相关理论结果相吻合。最后,将所提算法应用到传感器网络的定位问题中验证了算法的有效性。第五章研究了在无法获得精确次梯度信息情形下时变非平衡有向网络中带有状态约束的在线分布式优化问题。与现有文献中算法依赖双随机权重矩阵和精确次梯度值不同,我们基于一致性协议设计了一种新颖的分布式在线优化算法,该算法通过动态地构造行随机矩阵并且对零阶梯度信息进行尺度变换,以处理时变有向网络中的信息传递不平衡性及消除对次梯度信息的需求。在一系列常规条件下,度量了所提算法的动态Regret界限。结果显示,当时变最优解的累积变化以一定的速度次线性增长时,动态Regret对时间窗的平均将以次线性的速度渐近收敛到0的一个有界区域,并且这个区域的大小与算法中的参数有关,因而可以被控制。更进一步,给出了当次梯度信息可以获取时对应的动态Regret结果,结果揭示了所提出的免次梯度算法在本质上并没有因为利用零阶信息替代真实次梯度信息而削弱算法的收敛性能。最后,将所设计的算法应用到传感器网络的动态追踪问题中验证了算法的有效性。
董紫薇[6]（2020）在《分数阶Schr（?）dinger方程变号解的存在性及集中现象》文中研究说明分数阶Schr（?）dinger方程具有重要的物理背景,是近年来非线性分析领域的研究热点问题.与经典的Laplacian算子不同,分数阶Laplacian算子是非局部算子,不能直接应用经典的椭圆偏微分方程理论.本文首先介绍分数阶Schr（?）dinger方程的物理背景和与本文紧密相关的研究结果.其次,我们研究了一类带有临界指数的分数阶Schr（?）dinger方程,在权函数满足适当条件下利用变分方法证明了正解和变号解的存在性.为了克服分数阶Laplacian算子非局部性带来的困难,我们采用L.Caffarelli和L.Silvestre发展的调和延拓方法,将分数阶Schr（?）dinger方程转化为局部问题来处理.最后,我们研究了一类分数阶Schr（?）dinger方程的半经典问题,证明了当参数趋于0时,变号解存在且集中在位势的局部极小附近.
高冬冬[7]（2020）在《脉冲微分系统解的存在性》文中研究指明本论文主要从三个部分讨论了脉冲微分系统解的存在性.第一部分主要讨论了一类四阶脉冲微分系统解的存在性,第二部分讨论了两类分数阶脉冲微分系统解的存在性,第三部分讨论了三类随机脉冲微分系统温和解的存在性和稳定性.全文一共分为四章.第一章介绍了与本文相关的脉冲微分系统的研究背景与现状,以及本文的主要研究工作.第二章讨论了一类四阶脉冲微分系统解的存在性.通过利用临界点理论,在给定的脉冲函数满足超线性增长的情况下,得到了一类四阶脉冲微分方程至少存在两个非平凡解和无穷多个解的充分条件并且我们有效地拓宽了文献[14,15,16,17,18,19,20]中相应引理M1的范围,所得结论有效改进了相应文献的结果.第三章讨论了两类分数阶脉冲微分系统解的存在性.首先通过弱化已有文献[24]的条件,利用临界点理论,依然得到了一个新的原则来保证此类分数阶脉冲微分方程有无穷多个非平凡解的存在性;其次,我们给出了比已有文献[25]的更精确的限制条件,并且将脉冲扰动考虑到原分数阶微分系统中,利用变分方法,得到了分数阶脉冲微分方程至少存在三个非平凡解的充分条件,即使没有脉冲影响,我们的结果依然能改进文献[25]的结果.第四章讨论了三类脉冲随机微分系统温和解的存在性和稳定性.首先通过利用非紧性测度,M¨onch不动点定理和不等式技巧,得到了一类带有非紧性半群脉冲随机微分方程温和解存在性的充分条件;然后通过建立一个新的脉冲积分不等式,我们得到了所研究系统的温和解的均方指数稳定性,此不等式改进了原先相应文献[32,62]的结果.紧接着由前面一节建立的脉冲积分不等式,我们同样获得了一类带有Poisson跳的脉冲随机偏微分方程温和解的p次指数稳定的结果,我们所研究的模型更一般,能有效包括原先相应文献所研究的模型.最后,利用Schaefer不动点定理和Banach不动点定理,我们得到了一类带有Caputo分数导的脉冲随机比例方程温和解的存在性和唯一性的充分条件,然后利用熟知的Gronwall不等式,我们证明了所研究系统的温和解是p次Hyers-Ulam稳定的,所得结果是全新的且推广了相应已有文献的结果.
刘淑娟[8]（2020）在《几个偏微分方程的概周期解与长时间稳定性》文中研究指明本文主要给出了一个定量的无穷维KAM定理,运用无穷维KAM理论证明了一类带拟周期强迫项的梁方程存在概周期解、运用Birkhoff部分标准型证明了KdV方程的长时间稳定性.全文共包含四章和一个附录.第一章,主要介绍了Hamilton系统的不变环面以及KAM理论的背景,意义和国内外研究现状.并且,引出本文的主要研究内容.第二章,基于广泛应用于Hamilton偏微分方程的P¨oschel建立的无穷维KAM定理（见Ann.Sc.Norm.Sup.Pisa,23（1996）119–148）,我们讨论了环面维数和扰动大小之间的关系,换句话说,我们给出了该KAM定理的一个定量版本.此外,为了得到非退化的标准型,在无穷步KAM迭代后,我们使经过变换的Hamilton系统的不变环面的作用变量和法变量收缩到一个区域而不是收缩到原点.第三章,考虑了带有概周期强迫的梁方程,并且通过反复运用无穷维KAM定理证明了在一定条件之下,该方程存在概周期解.第四章,主要讨论了带有拟周期强迫的KdV方程解的长时间稳定性.由于KdV方程的扰动是无界的,所以以往讨论带有界扰动的Hamilton偏微分方程的长时间稳定性的方法在此就不适用.我们通过把KdV方程对应的Hamilton系统转化成自治的系统,并且运用弱tame性质,从而证明方程具有小初值的解的长时间稳定性.附录中,我们列出了本文使用的一些技术性引理.
王芬芬[9]（2020）在《哈密顿系统和耗散系统的响应解》文中提出在本文中,我们研究了两类系统（Hamilton系统和耗散系统）响应解的存在性问题.响应解指的是与系统的驱动有着相同频率的拟周期解.具体来说,我们研究的Hamilton模型是带有拟周期驱动的非适定Boussi-nesq方程:且满足铰链边界条件:其中ω=（1,α）,α为任意的无理数.本文的证明基于修改的Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）定理.我们将在每一步KAM迭代过程中构造一个辛坐标变换,使得所有变换的复合将原系统约化为一个新的系统,而新的系统以零点为平衡点.由于α的任意性,频率ω=（1,α）是超越Diophantine或Brjuno频率的,我们将其称之为Liouvillean频率.此外,本文所考虑的模型是非适定的且Hamilton结构复杂,这使得KAM迭代过程中出现的同调方程与经典的无穷维KAM理论有所不同.本文所得到的结果扩充了已有文献中针对适定方程或者扰动频率是Diophantine的结论.我们所研究的耗散模型是满足强阻尼和拟周期外驱动的常微分方程（简称ODE）.在对非线性项和驱动项做一些正则性假设且对驱动频率ω没有施加任何算术性条件下,我们证明方程的响应解确实存在.此外,当ε（其中ε是阻尼系数的逆）在以原点为边界且不包含原点的区域里取值时,我们获得的解依赖于ε且具有最佳正则性.与此同时,我们证明响应解在点ε=0处连续但不可微.在本文中,我们所研究的耗散ODE可以是高维的且对未扰方程不做Hamilton假设.基于我们所给出的研究方法,它可以同时得出解析和有限可微的结果（包括高阶可微和低阶可微的情形）.例如我们可以处理扰动在L2空间且非线性项仅是Lipschitz连续的,或者扰动项在H1空间中,非线性项是C1+Lip连续的情况.在具体证明过程中,我们将耗散系统响应解的存在性问题转化为具有一定光滑性的函数所构成的Banach空间中的不动点问题.
秦敏[10]（2020）在《含分数阶Laplace算子的几类发展方程（组）解的研究》文中研究指明分数阶Laplace算子是一类非局部拟微分算子,被称为分数阶扩散通量,常出现在许多远程或反常物理现象中,例如Lévy飞行、扰动以及等离子的反常扩散等.相较于整数阶算子,分数阶Laplace算子在描述一些物理现象和动态过程时更加准确.因此,越来越多的数学家致力于研究分数阶微分方程.特别地,数学家们对非平凡整解的不存在性和非负解的存在性进行了大量的研究并且得到了许多相关问题的结果.本文主要研究几类带分数阶Laplace算子的发展方程（组）非平凡整解的不存在性和半线性伪抛物不等方程非负解的存在性.利用检验函数方法,我们得到所考虑方程（组）非平凡整解的不存在性,并且给出了解的爆破条件.首先建立方程（组）的弱解定义.然后利用H?lder不等式、ε-Young不等式以及Ju不等式等得到关于弱解的积分估计.结合检验函数的性质以及分数阶Laplace算子的定义分别得到不等式的估计.最后根据估计式得到非平凡整解的不存在性,并且给出了解的爆破条件.此外,基于上解法和变形Bessel函数,我们考虑了半线性伪抛物不等方程非负解的存在性.由于我们所考虑的分数阶发展方程（组）没有初始条件的限制,所以其弱解的定义与已有文献中的定义显然有所不同.此外,由于分数阶Laplace算子的非局部性以及伪抛物三阶项的出现,使得伪抛物方程（组）的证明过程比相应的抛物方程（组）更加复杂.本文不存在性的证明是基于适当的检验函数的构造,这是本文不存在性证明的关键.通过构造半线性伪抛物不等方程的显式非负解,我们证明了其解的存在性.
二、一个不等式的一般情形（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一个不等式的一般情形（论文提纲范文）
（1）基于差分隐私的机器学习算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景及其意义 |
| §1.2 差分隐私及其变形 |
| §1.2.1 差分隐私 |
| §1.2.2 Renyi差分隐私 |
| §1.3 本文主要工作和内容安排 |
| 第二章 差分隐私稀疏分类学习 |
| §2.1 相关研究 |
| §2.2 差分隐私稀疏分类算法 |
| §2.2.1 ADMM算法 |
| §2.2.2 差分隐私稀疏分类算法 |
| §2.3 差分隐私稀疏分类算法的应用 |
| §2.3.1 差分隐私l_1正则化Logistic算法 |
| §2.3.2 差分隐私L_(1/2)正则化Logistic算法 |
| §2.4 实验 |
| §2.4.1 模拟实验 |
| §2.4.2 真实数据 |
| §2.5 本章小结 |
| 第三章 不光滑损失函数的差分隐私SGD算法 |
| §3.1 相关研究 |
| §3.2 基本概念与记号 |
| §3.3 SGD的一致参数稳定性 |
| §3.4 差分隐私SGD算法 |
| §3.4.1 输出扰动隐私SGD算法 |
| §3.4.2 梯度扰动隐私SGD算法 |
| §3.5 本章小结 |
| 第四章 具有隐私保护的非平衡数据学习 |
| §4.1 相关研究 |
| §4.2 基本概念与记号 |
| §4.3 隐私保护AUC-ERM算法 |
| §4.3.1 差分隐私输出扰动AUC-ERM算法 |
| §4.3.2 差分隐私目标函数扰动AUC-ERM算法 |
| §4.4 隐私算法的统计泛化性能 |
| §4.4.1 差分隐私输出扰动AUC-ERM算法泛化性能分析 |
| §4.4.2 差分隐私目标函数扰动AUC-ERM算法泛化性能分析 |
| §4.5 逐点学习差分隐私ERM算法 |
| §4.5.1 逐点学习差分隐私ERM可用性分析 |
| §4.5.2 与已有主要结论的比较 |
| §4.6 实验 |
| §4.6.1 实验设置及数据集 |
| §4.6.2 隐私-可用性均衡 |
| §4.6.3 正则化参数的选择 |
| §4.6.4 最小二乘损失的解析解 |
| §4.7 本章小结 |
| 第五章 分布式隐私保护Logistic回归 |
| §5.1 相关研究 |
| §5.2 分布式Logistic回归 |
| §5.2.1 分布式Logistic模型 |
| §5.2.2 分布式Logistic算法 |
| §5.2.3 分布式Logistic参数估计 |
| §5.3 分布式Logistic隐私保护算法 |
| §5.3.1 分布式Logistic输出扰动算法(DLP) |
| §5.3.2 分布式Logistic变量扰动算法(DLVP) |
| §5.4 实验 |
| §5.4.1 分布式K折交叉验证 |
| §5.4.2 分布式Logistic算法的有效性与高效性 |
| §5.4.3 分布式Logistic隐私保护算法 |
| §5.4.4 实验结果分析 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 结论和展望 |
| §6.1 结论 |
| §6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的科研成果 |
| 致谢 |
（2）近Hermitian流形与HKT流形上的一类完全非线性方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 实流形上的一类完全非线性偏微分方程 |
| 1.2 近复流形上的一类完全非线性偏微分方程 |
| 1.2.1 (M,ω)是n维紧致凯勒流形 |
| 1.2.2 (M,ω)是n维紧致Hermitian流形 |
| 1.2.3 (M,ω)是n维紧致近Hermitian流形 |
| 1.3 超复流形上的一类完全非线性偏微分方程 |
| 1.4 本文主要结果简介 |
| 第2章 近Hermitian流形上的复Monge-Ampère型方程 |
| 2.1 引言与主要结果 |
| 2.2 近Hermitian流形与锥次解 |
| 2.3 u的振幅估计 |
| 2.4 梯度估计 |
| 2.5 二阶导数估计 |
| 2.5.1 L(Q)的下界估计 |
| 2.5.2 定理2.12的证明 |
| 2.6 定理2.2的证明 |
| 第3章 近Hermitian流形上的抛物Monge-Ampere型方程 |
| 3.1 引言与主要结果 |
| 3.2 概念 |
| 3.3 零阶估计 |
| 3.4 梯度估计 |
| 3.5 二阶估计 |
| 3.5.1 L_l(Q)的下界 |
| 3.5.2 定理3.6的证明 |
| 3.6 热流的收敛性 |
| 3.6.1 解的长时间存在性 |
| 3.6.2 Harnack不等式 |
| 3.6.3 主要结果的证明 |
| 第4章 近Hermitian流形上supercritical特殊拉格朗日方程的梯度估计 |
| 4.1 引言与主要结果 |
| 4.2 简介 |
| 4.2.1 基本技巧 |
| 4.2.2 比较原理 |
| 4.2.3 次解的存在性 |
| 4.3 零阶与一阶估计 |
| 4.3.1 一致估计 |
| 4.3.2 边界的梯度估计 |
| 4.3.3 内部梯度估计 |
| 第5章 带平坦超凯勒度量流形上的完全非线性偏微分方程 |
| 5.1 引言与主要结果 |
| 5.2 概念 |
| 5.3 零阶估计 |
| 5.4 二阶估计 |
| 5.5 H~n上的Liouville定理 |
| 5.6 梯度估计 |
| 5.7 C~(2,β)估计 |
| 5.8 应用 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（3）基于张量网络分解的多维信号恢复（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 张量补全的国内外研究历史与现状 |
| 1.2.1 最小化秩模型 |
| 1.2.2 低秩矩阵分解模型 |
| 1.3 本文的主要贡献与创新 |
| 1.4 本论文的结构安排 |
| 第二章 张量分解 |
| 2.1 张量及其基本运算 |
| 2.2 传统张量分解 |
| 2.2.1 CANDECOMP/PARAFAC分解 |
| 2.2.2 Tucker分解 |
| 2.2.3 层次Tucker分解 |
| 2.2.4 张量奇异值分解 |
| 2.3 张量网络分解 |
| 2.3.1 张量链分解 |
| 2.3.2 张量环分解 |
| 2.3.3 张量网格分解 |
| 2.3.4 各张量分解的关系 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 基于张量环补全的数据恢复 |
| 3.1 朴素张量环补全 |
| 3.1.1 算法 |
| 3.1.2 理论 |
| 3.1.3 数值试验 |
| 3.2 鲁棒张量环补全 |
| 3.2.1 算法 |
| 3.2.2 理论 |
| 3.2.3 数值试验 |
| 3.3 本章小节 |
| 第四章 基于耦合张量环补全的数据恢复 |
| 4.1 耦合张量环补全 |
| 4.1.1 算法 |
| 4.1.2 理论 |
| 4.1.3 数值试验 |
| 4.2 本章小结 |
| 第五章 基于张量网格补全的数据恢复 |
| 5.1 朴素张量网格补全 |
| 5.1.1 初始化 |
| 5.1.2 算法 |
| 5.2 基于并行因子分解的张量网格补全 |
| 5.2.1 算法 |
| 5.2.2 数值试验 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 全文总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 后续工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的成果 |
（4）变分不等式与不动点问题的投影算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 变分不等式问题与不动点问题的研究背景 |
| 1.2 变分不等式投影算法研究进展 |
| 1.3 变分不等式问题和不动点问题公共解的投影算法研究进展 |
| 1.4 本文的研究动机 |
| 1.5 本文的主要内容和结构安排 |
| 第二章 基本概念与结论 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 基本结论 |
| 第三章 变分不等式问题的增量约束投影算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 随机投影算法及其收敛性分析 |
| 3.3 循环投影算法及其收敛性分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 第四章 变分不等式问题的惯性增量约束投影算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 惯性随机投影算法及其收敛性分析 |
| 4.3 惯性循环投影算法及其收敛性分析 |
| 4.4 数值实验 |
| 第五章 变分不等式问题和不动点问题公共解的投影算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 算法及其收敛性分析 |
| 5.3 数值实验 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（5）非平衡有向网络的分布式优化算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 课题研究现状 |
| 1.2.1 带约束的分布式优化算法 |
| 1.2.2 有向通信网络的分布式优化算法 |
| 1.2.3 具有线性收敛速度的分布式优化算法 |
| 1.2.4 异步分布式优化算法 |
| 1.2.5 连续时间的分布式优化算法 |
| 1.3 本论文的主要研究内容 |
| 第2章 带有局部状态约束集的多步次梯度分布式优化算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识及问题描述 |
| 2.2.1 图论 |
| 2.2.2 凸优化理论 |
| 2.2.3 问题描述 |
| 2.3 分布式优化算法设计 |
| 2.3.1 标准分布式梯度下降算法在有向网络中的局限 |
| 2.3.2 多步次梯度分布式优化算法设计 |
| 2.4 算法收敛性分析 |
| 2.5 数值仿真 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 量化通信下具有线性收敛速度的分布式梯度跟踪算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识及问题描述 |
| 3.2.1 量化规则 |
| 3.2.2 问题描述 |
| 3.3 量化分布式梯度跟踪算法设计 |
| 3.3.1 编码解码机制 |
| 3.3.2 分布式优化算法:Q-DGT |
| 3.4 算法收敛性分析 |
| 3.5 数值仿真 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 差分隐私保护情形下非平衡有向网络的分布式在线优化算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识及问题描述 |
| 4.2.1 差分隐私 |
| 4.2.2 问题描述 |
| 4.3 基于差分隐私的分布式在线优化算法设计 |
| 4.4 算法收敛性分析 |
| 4.4.1 差分隐私分析 |
| 4.4.2 收敛性分析 |
| 4.5 数值仿真 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 免次梯度情形下时变非平衡有向网络的分布式在线优化算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 免次梯度的分布式在线约束优化算法 |
| 5.4 算法收敛性分析 |
| 5.4.1 辅助引理 |
| 5.4.2 动态Regret界限分析 |
| 5.4.3 基于次梯度的分布式在线优化算法 |
| 5.5 数值仿真 |
| 5.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）分数阶Schr（?）dinger方程变号解的存在性及集中现象（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言和主要结果 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 主要结果 |
| 1.3 记号 |
| 第2章 临界情形的分数阶Schr(?)dinger方程正解和变号解的存在性 |
| 2.1 正解的存在性 |
| 2.1.1 L.Caffarelli和L.Silvestre调和延拓方法 |
| 2.1.2 准备工作 |
| 2.1.3 定理 1.1 的证明 |
| 2.2 变号解的存在性 |
| 2.2.1 准备引理 |
| 2.2.2 定理 1.2 的证明 |
| 第3章 次临界情形的分数阶Schr(?)dinger方程变号解的存在性和集中性 |
| 3.1 变号解的存在性 |
| 3.1.1 准备引理 |
| 3.1.2 变号解的存在性 |
| 3.2 变号解的集中性 |
| 3.3 定理 1.4 的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文和研究成果 |
| 致谢 |
（7）脉冲微分系统解的存在性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 一类四阶脉冲微分方程解的存在性 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 主要结果 |
| §2.3 举例 |
| 第三章 分数阶脉冲微分系统解的存在性 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 一类分数阶脉冲微分方程多解的存在性 |
| §3.3 一类分数阶脉冲微分方程三解的存在性 |
| 第四章 脉冲随机微分系统温和解的存在性和指数稳定性 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 带有非紧性半群脉冲随机微分方程温和解的存在性和稳定性 |
| §4.3 带有Poisson跳的脉冲随机微分方程温和解的p次指数稳定性 |
| §4.4 带有Caputo分数导脉冲随机比例方程温和解存在唯一性和Hyers-Ulam稳定性 |
| 结语与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表(接收)的论文 |
| 致谢 |
（8）几个偏微分方程的概周期解与长时间稳定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1. 绪论 |
| 1.1 Hamilton系统的不变环面与KAM理论 |
| 1.2 本文的研究内容及意义 |
| 2. 一个定量无穷维KAM定理 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 主要结论 |
| 2.3 坐标变换的估计 |
| 2.4 迭代引理和收敛性 |
| 2.5 测度估计 |
| 3. 带概周期强迫项的非线性梁方程概周期解的存在性 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 Hamilton系统的转换 |
| 3.3 迭代引理和证明 |
| 3.4 变换的收敛性 |
| 3.5 测度估计 |
| 4. 带拟周期强迫项的Kd V方程的长时间稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要结论 |
| 4.3 一些定义和性质 |
| 4.4 定理4.2.1的证明 |
| 4.5 测度估计 |
| 附录 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表和完成的论文 |
（9）哈密顿系统和耗散系统的响应解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 引言及主要结果 |
| 1.1 Hamilton系统 |
| 1.1.1 问题的提出及系统的假设 |
| 1.1.2 主要结果 |
| 1.2 耗散系统 |
| 1.2.1 问题的提出及系统的假设 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 1.3 文章结构安排 |
| 第二章 Hamilton系统及经典的KAM理论 |
| 2.1 辛流形上的基本知识 |
| 2.1.1 基本概念 |
| 2.1.2 典则变换 |
| 2.2 可积Hamilton系统及Birkhoff正规型 |
| 2.2.1 可积Hamilton系统 |
| 2.2.2 Birkhoff正规型 |
| 2.3 近可积Hamilton系统及经典的KAM理论 |
| 2.4 低维环的存在性 |
| 2.4.1 有限维Hamilton系统的低维环 |
| 2.4.2 无穷维Hamilton系统的低维环 |
| 第三章 带Liouvillean频率拟周期驱动的非适定Boussinesq方程的响应解 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 连分数 |
| 3.1.2 实解析拟周期函数 |
| 3.1.3 函数空间及范数 |
| 3.1.4 Poisson括号 |
| 3.2 KAM定理的叙述 |
| 3.3 同调方程 |
| 3.3.1 同调方程的导出 |
| 3.3.2 有限维中心方向的同调方程 |
| 3.3.3 无穷维双曲方向的同调方程 |
| 第四章 KAM迭代: 定理3.1的证明 |
| 4.1 KAM迭代的动机 |
| 4.2 有限步迭代 |
| 4.2.1 有限步迭代的思想 |
| 4.2.2 一步有限次迭代 |
| 4.2.3 一步KAM迭代的证明 |
| 4.3 无穷步迭代 |
| 4.4 收敛性 |
| 4.5 测度估计 |
| 第五章 应用:定理1.1的证明 |
| 5.1 系统的标准化 |
| 5.1.1 方程(1.2)对应的Hamilton结构 |
| 5.1.2 Hamilton结构的标准化 |
| 5.1.3 Hamilton函数的复化 |
| 5.2 定理1.1的证明 |
| 第六章 具有任意频率的拟周期驱动的强耗散系统的响应解 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.1.1 Banach空间中有限可微函数及不动点定理 |
| 6.1.2 函数空间 |
| 6.2 主要思想 |
| 6.2.1 不动点方程 |
| 6.2.2 小性条件 |
| 6.3 解析情况:定理1.2的证明 |
| 6.3.1 逆算子(?)的有界性估计 |
| 6.3.2 (6.16)式中(?)的界 |
| 6.3.3 解关于ε的解析性 |
| 6.3.4 解的存在性 |
| 6.4 高阶可微情形:定理1.3的证明 |
| 6.4.1 解关于ε的正则性 |
| 6.4.2 解的存在性 |
| 6.5 低阶可微情形: 定理1.4的证明 |
| 6.5.1 复合算子的性质 |
| 6.5.2 解的存在性 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的论文 |
（10）含分数阶Laplace算子的几类发展方程（组）解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 国内外研究历史与现状 |
| 1.3 本文的主要贡献与创新 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 1.5 符号与注释 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 常用不等式 |
| 2.2 基本概念及引理 |
| 第三章 带分数阶Laplace算子的抛物方程(组)解的不存在性 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 定理的证明 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 带分数阶Laplace算子的伪抛物方程(组)解的不存在性 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 定理的证明 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 三类伪抛物方程(组)解的存在性和不存在性 |
| 5.1 主要结果 |
| 5.2 定理的证明 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结与主要贡献 |
| 6.2 后续工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的成果 |
四、一个不等式的一般情形（论文参考文献）
- [1]基于差分隐私的机器学习算法研究[D]. 王璞玉. 西北大学, 2021(12)
- [2]近Hermitian流形与HKT流形上的一类完全非线性方程[D]. 张教根. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [3]基于张量网络分解的多维信号恢复[D]. 黄胡晏. 电子科技大学, 2021(01)
- [4]变分不等式与不动点问题的投影算法研究[D]. 王万禹. 四川师范大学, 2021(12)
- [5]非平衡有向网络的分布式优化算法[D]. 熊永阳. 哈尔滨工业大学, 2020
- [6]分数阶Schr（?）dinger方程变号解的存在性及集中现象[D]. 董紫薇. 云南师范大学, 2020(01)
- [7]脉冲微分系统解的存在性[D]. 高冬冬. 湖南师范大学, 2020(01)
- [8]几个偏微分方程的概周期解与长时间稳定性[D]. 刘淑娟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [9]哈密顿系统和耗散系统的响应解[D]. 王芬芬. 山东大学, 2020(08)
- [10]含分数阶Laplace算子的几类发展方程（组）解的研究[D]. 秦敏. 电子科技大学, 2020(07)